Военную службу проходил в должностях от лётчика-оператора Ми 24 до заместителя начальника центра (по войсковым испытаниям и летно-методической работе) 344 Государственного центра боевого применения и переучивания летного состава Министерства обороны Российской Федерации (город Торжка Тверской области).

Василий Петрович Клещенко ветеран боевых действий. Участвовал в боевых действиях в республике Таджикистан в 1999 году, в контртеррористической операции на территории Чеченской республики в 2006 и 2012 гг., в Сирийской арабской республике в 2019 году.

С 24 февраля 2022 года полковник Клещенко принимал участие в специальной военной операции в Украине. Василий Петрович командовал специальной боевой вертолетной группой. В полетах действовал нестандартно, применял неожиданные для противника боевые приемы. При выполнении боевого вылета ночью 15 апреля 2022 года в качестве ведущего авиагруппы полковник Василий Петрович Клещенко уничтожил несколько единиц бронетехники Вооруженных Сил Украины. В последнем вылете вертолет был сбит. Летчик погиб.

Указом Президента Российской Федерации от 06 августа 2022 года за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга, полковнику Василию Петровичу Клещенко присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).